在傅里叶域中用核对图像进行卷积

问题描述：

我在图像和卷积核周围使用零填充，将它们转换为傅立叶域，然后将它们反转回来以获得卷积图像，请参阅下面的代码。然而，结果是错误的。我本来期望得到模糊的图像，但输出是四个移位的四分之一。为什么输出是错误的，我该如何修复代码？

输入图像：

卷积结果：

from PIL import Image,ImageDraw,ImageOps,ImageFilter
import numpy as np 
from scipy import fftpack
from copy import deepcopy
import imageio
## STEP 1 ##
im1=Image.open("pika.jpeg")
im1=ImageOps.grayscale(im1)
im1.show()
print("s",im1.size)
## working on this image array
im_W=np.array(im1).T
print("before",im_W.shape)
if(im_W.shape[0]%2==0):
im_W=np.pad(im_W, ((1,0),(0,0)), 'constant')
if(im_W.shape[1]%2==0):
im_W=np.pad(im_W, ((0,0),(1,0)), 'constant')
print("after",im_W.shape)
Boxblur=np.array([[1/9,1/9,1/9],[1/9,1/9,1/9],[1/9,1/9,1/9]])
dim=Boxblur.shape[0]

##padding before frequency domain multipication
pad_size=(Boxblur.shape[0]-1)/2
pad_size=int(pad_size)
##padded the image(starts here)

p_im=np.pad(im_W, ((pad_size,pad_size),(pad_size,pad_size)), 'constant')
t_b=(p_im.shape[0]-dim)/2
l_r=(p_im.shape[1]-dim)/2
t_b=int(t_b)
l_r=int(l_r)

##padded the image(ends here)

## padded the kernel(starts here)
k_im=np.pad(Boxblur, ((t_b,t_b),(l_r,l_r)), 'constant')
print("hjhj",k_im)
print("kernel",k_im.shape)

##fourier transforms image and kernel
fft_im = fftpack.fftshift(fftpack.fft2(p_im))
fft_k  = fftpack.fftshift(fftpack.fft2(k_im))
con_in_f=fft_im*fft_k
ifft2 = abs(fftpack.ifft2(fftpack.ifftshift(con_in_f)))
convolved=(np.log(abs(ifft2))* 255 / np.amax(np.log(abs(ifft2)))).astype(np.uint8)
final=Image.fromarray(convolved.T)
final.show()
u=im1.filter(ImageFilter.Kernel((3,3), [1/9,1/9,1/9,1/9,1/9,1/9,1/9,1/9,1/9], scale=None, offset=0))
u.show()

解决方案 1：

离散傅里叶变换 (DFT) 以及扩展的 FFT（计算 DFT）的原点位于输入和输出的第一个元素（对于图像，即左上角的像素）中。这就是我们经常在输出上使用该函数的原因，fftshift以便将原点移到我们更熟悉的位置（图像中间）。

这意味着我们需要将 3x3 均匀加权模糊核转换为如下所示的样子，然后再将其传递给 FFT 函数：

1/9  1/9  0  0  ... 0  1/9
1/9  1/9  0  0  ... 0  1/9
  0    0  0  0  ... 0    0
...  ...               ...
  0    0  0  0  ... 0    0
1/9  1/9  0  0  ... 0  1/9

也就是说，内核的中间（其原点）位于图像的左上角，中间左上方的像素环绕并出现在图像的右端和底端。

我们可以使用ifftshift填充后应用于内核的函数来实现这一点。填充内核时，我们需要注意原点（内核中间）位于k_im.shape // 2内核图像内的位置（整数除法）k_im。最初原点位于[3,3]//2 == [1,1]。通常，我们匹配的图像大小是均匀的，例如[256,256]。那里的原点将位于[256,256]//2 == [128,128]。这意味着我们需要在左侧和右侧（以及底部和顶部）填充不同的量。我们需要小心计算这个填充：

sz = img.shape  # the sizes we're matching
kernel = np.ones((3,3)) / 9
sz = (sz[0] - kernel.shape[0], sz[1] - kernel.shape[1])  # total amount of padding
kernel = np.pad(kernel, (((sz[0]+1)//2, sz[0]//2), ((sz[1]+1)//2, sz[1]//2)), 'constant')
kernel = fftpack.ifftshift(kernel)

请注意，输入图像img不需要填充（尽管如果您想强制执行 FFT 更便宜的尺寸，您可以这样做）。fftshift在乘法之前也不需要对 FFT 的结果应用，然后在之后立即反转此移位，这些移位是多余的。您fftshift只应在要显示傅立叶域图像时使用。最后，对过滤后的图像应用对数缩放是错误的。

生成的代码是（我使用 pyplot 进行显示，根本不使用 PIL）：

import numpy as np
from scipy import misc
from scipy import fftpack
import matplotlib.pyplot as plt

img = misc.face()[:,:,0]

kernel = np.ones((3,3)) / 9
sz = (img.shape[0] - kernel.shape[0], img.shape[1] - kernel.shape[1])  # total amount of padding
kernel = np.pad(kernel, (((sz[0]+1)//2, sz[0]//2), ((sz[1]+1)//2, sz[1]//2)), 'constant')
kernel = fftpack.ifftshift(kernel)

filtered = np.real(fftpack.ifft2(fftpack.fft2(img) * fftpack.fft2(kernel)))
plt.imshow(filtered, vmin=0, vmax=255)
plt.show()

请注意，我取的是逆 FFT 的实部。虚部应该只包含非常接近零的值，这是计算中的舍入误差的结果。取绝对值虽然很常见，但却是不正确的。例如，您可能想要将过滤器应用于包含负值的图像，或者应用产生负值的过滤器。在这里取绝对值会产生伪影。如果逆 FFT 的输出包含明显不同于零的虚值，则过滤内核的填充方式存在错误。

还要注意，这里的内核很小，因此模糊效果也很小。为了更好地看到模糊效果，请制作一个更大的内核，例如np.ones((7,7)) / 49。