如何在 Python 中进行指数和对数曲线拟合？我发现只有多项式拟合

问题描述：

我有一组数据，我想比较哪条线最能描述它（不同阶的多项式、指数或对数）。

我使用 Python 和 Numpy，对于多项式拟合有一个函数polyfit()。但是我没有找到用于指数和对数拟合的函数。

有吗？或者如何解决？

解决方案 1：

为了拟合y = A + B log x，只需将y与 (log x ) 进行拟合。

>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> numpy.polyfit(numpy.log(x), y, 1)
array([ 8.46295607,  6.61867463])
# y ≈ 8.46 log(x) + 6.62

为了拟合y = Ae Bx，对两边取对数得到 log y = log A + Bx。因此对x进行 (log y )拟合。

请注意，将 (log y ) 拟合为线性会强调y的小值，导致y大时出现较大偏差。这是因为polyfit(线性回归) 通过最小化 ∑ i (Δ Y ) 2 = ∑ i ( Y i − Ŷ i ) 2来工作。当Y i = log y i时，余数 Δ Y i = Δ(log y i ) ≈ Δ y i / | y i |。因此，即使对大ypolyfit做出非常糟糕的决定，“除以 | y |”因子也会对其进行补偿，导致有利于较小的值。polyfit

可以通过赋予每个条目一个与y成比例的“权重”来缓解这一问题。polyfit通过关键字参数支持加权最小二乘w。

>>> x = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> y = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> numpy.polyfit(x, numpy.log(y), 1)
array([ 0.10502711, -0.40116352])
#    y ≈ exp(-0.401) * exp(0.105 * x) = 0.670 * exp(0.105 * x)
# (^ biased towards small values)
>>> numpy.polyfit(x, numpy.log(y), 1, w=numpy.sqrt(y))
array([ 0.06009446,  1.41648096])
#    y ≈ exp(1.42) * exp(0.0601 * x) = 4.12 * exp(0.0601 * x)
# (^ not so biased)

请注意，Excel、LibreOffice 和大多数科学计算器通常使用无加权（有偏）公式来计算指数回归/趋势线。如果您希望结果与这些平台兼容，请不要包含权重，即使它能提供更好的结果。

现在，如果您可以使用 scipy，您就可以用它scipy.optimize.curve_fit来拟合任何模型而无需进行转换。

对于y = A + B log x，结果与变换方法相同：

>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a+b*numpy.log(t),  x,  y)
(array([ 6.61867467,  8.46295606]), 
 array([[ 28.15948002,  -7.89609542],
        [ -7.89609542,   2.9857172 ]]))
# y ≈ 6.62 + 8.46 log(x)

然而，对于y = Ae Bx，我们可以得到更好的拟合，因为它直接计算 Δ(log y )。但我们需要提供一个初始化猜测，这样curve_fit才能达到所需的局部最小值。

>>> x = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> y = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a*numpy.exp(b*t),  x,  y)
(array([  5.60728326e-21,   9.99993501e-01]),
 array([[  4.14809412e-27,  -1.45078961e-08],
        [ -1.45078961e-08,   5.07411462e+10]]))
# oops, definitely wrong.
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a*numpy.exp(b*t),  x,  y,  p0=(4, 0.1))
(array([ 4.88003249,  0.05531256]),
 array([[  1.01261314e+01,  -4.31940132e-02],
        [ -4.31940132e-02,   1.91188656e-04]]))
# y ≈ 4.88 exp(0.0553 x). much better.

解决方案 2：

curve_fit您还可以使用中的任意函数来拟合一组数据scipy.optimize。例如，如果您想拟合指数函数（来自文档）：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

def func(x, a, b, c):
    return a * np.exp(-b * x) + c

x = np.linspace(0,4,50)
y = func(x, 2.5, 1.3, 0.5)
yn = y + 0.2*np.random.normal(size=len(x))

popt, pcov = curve_fit(func, x, yn)

然后，如果您想要绘图，您可以这样做：

plt.figure()
plt.plot(x, yn, 'ko', label="Original Noised Data")
plt.plot(x, func(x, *popt), 'r-', label="Fitted Curve")
plt.legend()
plt.show()

（注意：绘图时，*前面的popt项将扩展为a、，b并且c这func是预期。）

解决方案 3：

我在这方面遇到了一些麻烦，所以我会说得非常清楚，以便像我这样的新手能够理解。

假设我们有一个数据文件或类似的东西

# -*- coding: utf-8 -*-

import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit
import numpy as np
import sympy as sym

"""
Generate some data, let's imagine that you already have this. 
"""
x = np.linspace(0, 3, 50)
y = np.exp(x)

"""
Plot your data
"""
plt.plot(x, y, 'ro',label="Original Data")

"""
brutal force to avoid errors
"""    
x = np.array(x, dtype=float) #transform your data in a numpy array of floats 
y = np.array(y, dtype=float) #so the curve_fit can work

"""
create a function to fit with your data. a, b, c and d are the coefficients
that curve_fit will calculate for you. 
In this part you need to guess and/or use mathematical knowledge to find
a function that resembles your data
"""
def func(x, a, b, c, d):
    return a*x**3 + b*x**2 +c*x + d

"""
make the curve_fit
"""
popt, pcov = curve_fit(func, x, y)

"""
The result is:
popt[0] = a , popt[1] = b, popt[2] = c and popt[3] = d of the function,
so f(x) = popt[0]*x**3 + popt[1]*x**2 + popt[2]*x + popt[3].
"""
print "a = %s , b = %s, c = %s, d = %s" % (popt[0], popt[1], popt[2], popt[3])

"""
Use sympy to generate the latex sintax of the function
"""
xs = sym.Symbol('lambda')    
tex = sym.latex(func(xs,*popt)).replace('$', '')
plt.title(r'$f(lambda)= %s$' %(tex),fontsize=16)

"""
Print the coefficients and plot the funcion.
"""

plt.plot(x, func(x, *popt), label="Fitted Curve") #same as line above /
#plt.plot(x, popt[0]*x**3 + popt[1]*x**2 + popt[2]*x + popt[3], label="Fitted Curve") 

plt.legend(loc='upper left')
plt.show()

结果为：a = 0.849195983017，b = -1.18101681765，c = 2.24061176543，d = 0.816643894816

解决方案 4：

这是使用scikit learn工具对简单数据进行线性化选项。

鉴于

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.preprocessing import FunctionTransformer


np.random.seed(123)

# General Functions
def func_exp(x, a, b, c):
    """Return values from a general exponential function."""
    return a * np.exp(b * x) + c


def func_log(x, a, b, c):
    """Return values from a general log function."""
    return a * np.log(b * x) + c


# Helper
def generate_data(func, *args, jitter=0):
    """Return a tuple of arrays with random data along a general function."""
    xs = np.linspace(1, 5, 50)
    ys = func(xs, *args)
    noise = jitter * np.random.normal(size=len(xs)) + jitter
    xs = xs.reshape(-1, 1)                                  # xs[:, np.newaxis]
    ys = (ys + noise).reshape(-1, 1)
    return xs, ys

transformer = FunctionTransformer(np.log, validate=True)

代码

拟合指数数据

# Data
x_samp, y_samp = generate_data(func_exp, 2.5, 1.2, 0.7, jitter=3)
y_trans = transformer.fit_transform(y_samp)             # 1

# Regression
regressor = LinearRegression()
results = regressor.fit(x_samp, y_trans)                # 2
model = results.predict
y_fit = model(x_samp)

# Visualization
plt.scatter(x_samp, y_samp)
plt.plot(x_samp, np.exp(y_fit), "k--", label="Fit")     # 3
plt.title("Exponential Fit")

拟合日志数据

# Data
x_samp, y_samp = generate_data(func_log, 2.5, 1.2, 0.7, jitter=0.15)
x_trans = transformer.fit_transform(x_samp)             # 1

# Regression
regressor = LinearRegression()
results = regressor.fit(x_trans, y_samp)                # 2
model = results.predict
y_fit = model(x_trans)

# Visualization
plt.scatter(x_samp, y_samp)
plt.plot(x_samp, y_fit, "k--", label="Fit")             # 3
plt.title("Logarithmic Fit")

细节

常规步骤

1. 对数据值应用对数运算（x，y或两者）

2. 将数据回归到线性模型

3. 通过“反转”任何对数运算（使用np.exp()）进行绘图并拟合原始数据

假设我们的数据遵循指数趋势，一般方程+可能是：

我们可以通过取对数将后一个方程线性化（例如 y = 截距 + 斜率 * x）：

给定线性方程++和回归参数，我们可以计算：

• A通过拦截( ln(A))

• B通过斜率 ( B)

线性化技术总结

Relationship |  Example   |     General Eqn.     |  Altered Var.  |        Linearized Eqn.  
-------------|------------|----------------------|----------------|------------------------------------------
Linear       | x          | y =     B * x    + C | -              |        y =   C    + B * x
Logarithmic  | log(x)     | y = A * log(B*x) + C | log(x)         |        y =   C    + A * (log(B) + log(x))
Exponential  | 2**x, e**x | y = A * exp(B*x) + C | log(y)         | log(y-C) = log(A) + B * x
Power        | x**2       | y =     B * x**N + C | log(x), log(y) | log(y-C) = log(B) + N * log(x)

+注意：当噪声较小且 C=0 时，线性化指数函数效果最佳。请谨慎使用。

++注意：改变 x 数据有助于线性化指数数据，而改变 y 数据有助于线性化对数数据。

解决方案 5：

嗯，我想你总是可以使用：

np.log   -->  natural log
np.log10 -->  base 10
np.log2  -->  base 2

稍微修改一下IanVS 的答案：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

def func(x, a, b, c):
  #return a * np.exp(-b * x) + c
  return a * np.log(b * x) + c

x = np.linspace(1,5,50)   # changed boundary conditions to avoid division by 0
y = func(x, 2.5, 1.3, 0.5)
yn = y + 0.2*np.random.normal(size=len(x))

popt, pcov = curve_fit(func, x, yn)

plt.figure()
plt.plot(x, yn, 'ko', label="Original Noised Data")
plt.plot(x, func(x, *popt), 'r-', label="Fitted Curve")
plt.legend()
plt.show()

得出以下图表：

解决方案 6：

我们lmfit在解决这两个问题的同时展示了其特点。

鉴于

import lmfit

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt


%matplotlib inline
np.random.seed(123)

# General Functions
def func_log(x, a, b, c):
    """Return values from a general log function."""
    return a * np.log(b * x) + c


# Data
x_samp = np.linspace(1, 5, 50)
_noise = np.random.normal(size=len(x_samp), scale=0.06)
y_samp = 2.5 * np.exp(1.2 * x_samp) + 0.7 + _noise
y_samp2 = 2.5 * np.log(1.2 * x_samp) + 0.7 + _noise

代码

方法 1 -lmfit模型

拟合指数数据

regressor = lmfit.models.ExponentialModel()                # 1    
initial_guess = dict(amplitude=1, decay=-1)                # 2
results = regressor.fit(y_samp, x=x_samp, **initial_guess)
y_fit = results.best_fit    

plt.plot(x_samp, y_samp, "o", label="Data")
plt.plot(x_samp, y_fit, "k--", label="Fit")
plt.legend()

方法 2 - 自定义模型

拟合日志数据

regressor = lmfit.Model(func_log)                          # 1
initial_guess = dict(a=1, b=.1, c=.1)                      # 2
results = regressor.fit(y_samp2, x=x_samp, **initial_guess)
y_fit = results.best_fit

plt.plot(x_samp, y_samp2, "o", label="Data")
plt.plot(x_samp, y_fit, "k--", label="Fit")
plt.legend()

细节

1. 选择回归类

2. 提供符合函数域的命名初始猜测

您可以从回归器对象中确定推断的参数。例如：

regressor.param_names
# ['decay', 'amplitude']

要进行预测，请使用该ModelResult.eval()方法。

model = results.eval
y_pred = model(x=np.array([1.5]))

注意：ExponentialModel()后面跟着一个衰减函数，它接受两个参数，其中一个是负数。

另请参阅ExponentialGaussianModel()，它接受更多参数。

通过安装库> pip install lmfit。

解决方案 7：

Wolfram 有一个用于拟合指数的闭式解。他们也有用于拟合对数和幂律的类似解。

我发现这比 scipy 的 curve_fit 效果更好。特别是当你没有“接近零”的数据时。以下是一个例子：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Fit the function y = A * exp(B * x) to the data
# returns (A, B)
# From: https://mathworld.wolfram.com/LeastSquaresFittingExponential.html
def fit_exp(xs, ys):
    S_x2_y = 0.0
    S_y_lny = 0.0
    S_x_y = 0.0
    S_x_y_lny = 0.0
    S_y = 0.0
    for (x,y) in zip(xs, ys):
        S_x2_y += x * x * y
        S_y_lny += y * np.log(y)
        S_x_y += x * y
        S_x_y_lny += x * y * np.log(y)
        S_y += y
    #end
    a = (S_x2_y * S_y_lny - S_x_y * S_x_y_lny) / (S_y * S_x2_y - S_x_y * S_x_y)
    b = (S_y * S_x_y_lny - S_x_y * S_y_lny) / (S_y * S_x2_y - S_x_y * S_x_y)
    return (np.exp(a), b)


xs = [33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42]
ys = [3187, 3545, 4045, 4447, 4872, 5660, 5983, 6254, 6681, 7206]

(A, B) = fit_exp(xs, ys)

plt.figure()
plt.plot(xs, ys, 'o-', label='Raw Data')
plt.plot(xs, [A * np.exp(B *x) for x in xs], 'o-', label='Fit')

plt.title('Exponential Fit Test')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.legend(loc='best')
plt.tight_layout()
plt.show()

解决方案 8：

我认为需要注意的是，在存在测量误差的情况下，上述两种方法（对数变换后的线性回归或指数曲线拟合）将产生不同的结果。哪​​种方法最好取决于对测量误差的假设。只有当 x 和 y 都可用且没有测量误差并且假设的关系完全满足时，参数估计才会相同。

我的建议是在对数变换后使用线性回归来获得初始猜测，然后使用该初始猜测作为起点进行指数曲线拟合。

如果 y 中的测量误差取自零均值高斯分布，且其标准差与 y 的真实值成比例，并且 x 可以假设为可用且无测量误差，则对数变换后的线性回归将提供参数的最大似然估计。如果 y 中的测量误差取自零均值高斯分布，且其标准差为常数，并且 x 可以假设为可用且无测量误差，则最小二乘曲线拟合方法将提供参数的最大似然估计。